Vektoren

Ein Vektor ist eine gerichtete Größe: er hat einen Wert (Länge) und eine Richtung. In 2D wird er meist als Pfeil vom Ursprung zu einem Punkt $(x, y)$ dargestellt.

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}$

Warum Vektoren?

• Physik: Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung — alle gerichtete Größen
• Computergrafik: Positionen, Bewegungen, Lichtrichtung
• Machine Learning: Datenpunkte, Gewichte, Embeddings (oft hochdimensional)
• Datenanalyse: Merkmals-Vektoren, Ähnlichkeit zwischen Datensätzen

Vektor-Addition

Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert:

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}$

Geometrisch: hänge $\vec{b}$ an die Spitze von $\vec{a}$. Der Summenvektor zeigt vom Ursprung zur neuen Spitze.

Beispiel: $\vec{a} = (3, 1)$, $\vec{b} = (1, 4)$ → $\vec{a} + \vec{b} = (4, 5)$.

Skalarmultiplikation

Eine Zahl (Skalar) mal Vektor:

$k \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} k \cdot a_x \\ k \cdot a_y \end{pmatrix}$

• $k > 0$: gleiche Richtung, Länge ändert sich um Faktor $k$
• $k < 0$: entgegengesetzte Richtung
• $k = 0$: Nullvektor

Länge eines Vektors

Mit dem Satz des Pythagoras:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Beispiel: $\vec{a} = (3, 4)$ → $|\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Skalarprodukt (Dot Product)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl (kein Vektor):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$

Es ist ein Maß für die Ähnlichkeit der Richtung.

Geometrische Bedeutung

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$

wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Skalarprodukt	Winkel	Bedeutung
$> 0$	$< 90°$	Vektoren zeigen in ähnliche Richtung
$= 0$	$= 90°$	Vektoren sind orthogonal (senkrecht)
$< 0$	$> 90°$	Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtung

Klausur-Trick: orthogonal-Test geht super-einfach: $\vec{a} \cdot \vec{b} \stackrel{?}{=} 0$.

Beispiel

$\vec{a} = (3, 1)$, $\vec{b} = (-1, 3)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -3 + 3 = 0$

→ orthogonal, der Winkel ist genau 90°.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus dem Skalarprodukt-Trick lässt sich direkt der Winkel berechnen:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Vektoren in höheren Dimensionen

Alle Operationen verallgemeinern sich problemlos auf 3D, 4D oder n-dimensionale Vektoren:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot b_i$

Das ist der Kern vom Skalarprodukt im n-dimensionalen Raum und in Machine Learning der wichtigste Operator überhaupt: er misst Ähnlichkeit zwischen zwei Daten-Vektoren.

Klausur-Klassiker

Aufgabe 1: Sind die Vektoren orthogonal?

Gegeben: $\vec{a} = (4, 6)$, $\vec{b} = (3, -2)$.

Lösung: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + 6 \cdot (-2) = 12 - 12 = 0$.

→ Ja, orthogonal.

Aufgabe 2: Welcher Wert von $k$ macht die Vektoren orthogonal?

Gegeben: $\vec{a} = (2, 3)$, $\vec{b} = (k, -4)$. Bestimme $k$ so dass orthogonal.

Lösung: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2k + 3 \cdot (-4) = 0 \Rightarrow 2k = 12 \Rightarrow k = 6$.

Aufgabe 3: Berechne den Winkel zwischen $\vec{a} = (1, 0)$ und $\vec{b} = (1, 1)$.

$|\vec{a}| = 1, \quad |\vec{b}| = \sqrt{2}, \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

$\cos(\theta) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \theta = 45°$

Merksatz

Skalarprodukt = 0 ⇔ orthogonal. Das ist das wichtigste Tool aus der Vektorrechnung in Klausuren.