Integrale

Wenn die Ableitung die momentane Änderungsrate misst, dann macht das Integral genau das Gegenteil: es summiert Änderungen auf und liefert Gesamtwerte.

Geometrisch: Das Integral ist die Fläche unter der Kurve zwischen zwei Grenzen.

Warum braucht man das?

• Strecke = Integral der Geschwindigkeit über die Zeit
• Gesamtenergie = Integral der Leistung
• Wahrscheinlichkeit = Integral einer Dichtefunktion (Statistik)
• Fläche, Volumen, Schwerpunkt in Physik und Technik
• Loss-Funktionen in Machine Learning oft als Integral definiert

Ableiten und Integrieren sind die zwei Seiten der Differentialrechnung: was die eine zerlegt, baut die andere wieder zusammen.

Die Idee in einem Satz

Das Integral $\int_a^b f(x)\, dx$ ist die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse, zwischen den Grenzen $x = a$ und $x = b$.

Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ.

Riemann-Summen: die Fläche annähern

Die Idee: zerlege das Intervall $[a, b]$ in $n$ gleich breite Teile und approximiere die Fläche mit Rechtecken.

Sei $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ die Breite jedes Rechtecks. Dann:

Methode	Höhe des i-ten Rechtecks
Linkssumme	$f(a + i \cdot \Delta x)$ (linker Rand)
Rechtssumme	$f(a + (i+1) \cdot \Delta x)$ (rechter Rand)
Trapez	Mittelwert von links und rechts

Die Riemann-Summe ist:

$S_n = \sum_{i} f(x_i) \cdot \Delta x$

Bei steigender Anzahl Rechtecke $n$ konvergiert $S_n$ gegen den exakten Wert. Der Grenzwert ist das Integral:

$\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} S_n$

Hauptsatz der Integralrechnung

Anstatt jedes Mal Riemann-Summen zu rechnen, gibt es einen direkten Weg: man sucht eine Stammfunktion $F$ mit $F'(x) = f(x)$. Dann gilt:

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er verbindet Ableiten und Integrieren: Integrieren ist im Prinzip umgekehrtes Ableiten.

Beispiel: $\int_0^2 x^2\, dx$.

• Stammfunktion von $x^2$: $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$
• $F(2) - F(0) = \dfrac{8}{3} - 0 = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$

Das exakte Ergebnis. Keine Riemann-Summe nötig.

Integrationsregeln

Wie bei Ableitungen gibt es Regeln, die das Rechnen vereinfachen.

Potenzregel (umgekehrt)

$\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

Den Exponenten um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Genau die Umkehrung der Ableitungs-Potenzregel.

f(x)	F(x) (eine Stammfunktion)
$x$	$\dfrac{x^2}{2}$
$x^2$	$\dfrac{x^3}{3}$
$x^3$	$\dfrac{x^4}{4}$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$	$\dfrac{2}{3}x^{3/2}$
$\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$	$-\dfrac{1}{x}$

Konstantenregel

$\int c\, dx = c \cdot x + C$

Eine konstante Funktion integriert: linear wachsend.

Faktor- und Summenregel

Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen werden gliedweise integriert:

$\int (a \cdot f(x) + b \cdot g(x))\, dx = a \int f(x)\, dx + b \int g(x)\, dx$

Genau wie beim Ableiten.

Die +C-Konstante

Bei unbestimmten Integralen (ohne Grenzen) schreibst du immer $+ C$ am Ende. Warum? Weil $F(x)$ und $F(x) + 17$ beide dieselbe Ableitung haben. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.

Bei bestimmten Integralen (mit Grenzen) fällt $C$ raus, weil $F(b) - F(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C)$.

Bestimmtes vs unbestimmtes Integral

Zwei Begriffe, die oft verwechselt werden:

Typ	Schreibweise	Ergebnis	Bedeutung
Unbestimmt	$\int f(x)\, dx$	Funktion $F(x) + C$	Stammfunktion
Bestimmt	$\int_a^b f(x)\, dx$	Zahl	Fläche zwischen $a$ und $b$

Das bestimmte Integral ist eine konkrete Zahl. Das unbestimmte Integral liefert eine ganze Familie von Funktionen.

Vorzeichen verstehen

Wenn die Funktion unter der x-Achse verläuft, zählt diese Fläche negativ:

$\int_{-1}^{0} -x^2\, dx = -\dfrac{1}{3}$

Wenn ein Integral teils oberhalb und teils unterhalb verläuft, heben sich die Flächen teilweise auf. Beispiel: $\int_{-1}^{1} x^3\, dx = 0$ (symmetrisch um den Ursprung).

Wenn du die echte Fläche willst (immer positiv), musst du den Betrag vor der Integration nehmen oder das Intervall an den Nullstellen aufteilen.

In der Praxis

Die meisten Integrale lassen sich mit Standard-Regeln lösen. Schwierigere brauchen Tricks:

• Substitutionsregel (Kettenregel rückwärts)
• Partielle Integration (Produktregel rückwärts)
• Numerische Integration: Computer rechnet Riemann-Summen mit großem $n$

Im Studium-Klausur-Alltag reichen meist Potenz-, Faktor- und Summenregel plus eventuell Substitution.