Ableitungen

Eine Ableitung misst die momentane Änderungsrate einer Funktion. Anders gesagt: die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt.

Warum braucht man das?

• Geschwindigkeit = Ableitung der Position nach der Zeit
• Beschleunigung = Ableitung der Geschwindigkeit
• Grenzkosten = Ableitung der Kostenfunktion (BWL)
• Extremwerte finden (Maximum/Minimum): da wo $f'(x) = 0$
• Optimierung in Machine Learning (Gradient Descent)

Ableitungen sind nicht nur Mathe um der Mathe willen, sondern eine der wichtigsten Werkzeuge in fast jedem MINT-Fach.

Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten

Bei einer Geraden $y = mx + b$ ist die Steigung überall gleich: $m$. Bei einer Kurve wechselt die Steigung von Punkt zu Punkt. Wie misst man sie an einem konkreten Punkt $x_0$?

Idee in zwei Schritten:

1. Sekantensteigung

Nimm zwei Punkte $P = (x_0, f(x_0))$ und $Q = (x_0 + h, f(x_0 + h))$ und berechne ihre Steigung:

$m_{\text{Sekante}} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Das ist der Differenzenquotient: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte.

2. h gegen 0 schicken

Je kleiner $h$, desto näher rückt $Q$ an $P$ heran, und die Sekante wird zur Tangente. Im Grenzwert:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Das ist der Differentialquotient und definiert die Ableitung $f'(x_0)$.

Beispiel: f(x) = x²

Nehmen wir $f(x) = x^2$ und berechnen die Ableitung an $x_0 = 3$:

$\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$

Wenn $h \to 0$: $f'(3) = 6$. Die Tangente an $y = x^2$ in $(3 | 9)$ hat Steigung 6.

Ableitungsregeln

In der Praxis berechnet niemand jedes Mal den Grenzwert. Stattdessen nutzt man Regeln, die man auswendig lernt.

Potenzregel (die wichtigste)

$f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

Den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen, dann den Exponenten um 1 verringern.

f(x)	f'(x)
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^5$	$5x^4$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$	$\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{1}{x} = x^{-1}$	$-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Faktorregel

Konstante Faktoren bleiben stehen:

$f(x) = c \cdot g(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)$

Beispiel: $f(x) = 5x^3 \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$.

Summenregel

Summen werden gliedweise abgeleitet:

$f(x) = g(x) + h(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x)$

Beispiel: $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 + 0 = 3x^2 + 4x - 5$.

Konstanten verschwinden beim Ableiten: die Steigung einer waagerechten Linie ist 0.

Produktregel (wenn Funktionen multipliziert sind)

$f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Merksatz: "Erste mal Zweite' Strich plus Erste Strich mal Zweite".

Kettenregel (wenn Funktion verschachtelt ist)

$f(x) = g(h(x)) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

"Äußere mal innere Ableitung". Beispiel: $f(x) = (3x + 2)^4$. Äußere $u^4 \to 4u^3$, innere $3x + 2 \to 3$. Also $f'(x) = 4(3x+2)^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3$.

Anwendung: Extremwerte finden

Eine wichtige Klausuraufgabe: bestimme das Maximum oder Minimum einer Funktion.

Strategie:

1. Erste Ableitung $f'(x)$ bilden
2. Nullstellen von $f'(x)$ suchen: das sind Kandidaten für Extrema
3. Mit der zweiten Ableitung $f''(x)$ prüfen:
   • $f''(x_0) > 0$ → Minimum
   • $f''(x_0) < 0$ → Maximum
   • $f''(x_0) = 0$ → genauer prüfen (Sattelpunkt möglich)

Beispiel: Wo hat $f(x) = x^2 - 4x + 1$ ein Extremum?

• $f'(x) = 2x - 4$
• $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$
• $f''(x) = 2 > 0$ → Minimum bei $x = 2$
• $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$
• Tiefster Punkt: $(2 | -3)$ — genau der Scheitelpunkt!

Bei einer Parabel ist die Extremstelle immer der Scheitelpunkt. Bei komplexeren Funktionen (Polynome höheren Grades) gibt es mehrere Extrema.

Notation

In der Schule und Uni siehst du verschiedene Schreibweisen:

Schreibweise	Wer nutzt das?
$f'(x)$	Standardschule, Lagrange-Notation
$\dfrac{df}{dx}$	Leibniz-Notation, in Physik/Ingenieurswissenschaften
$\dot f$	Newton-Notation, oft bei zeitlichen Ableitungen
$D_x f$	Operator-Schreibweise, in höherer Mathematik

Alle bedeuten das Gleiche: die Ableitung von $f$ nach $x$.