Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{mit } a \neq 0$

Der Graph ist eine Parabel. Der Koeffizient $a$ entscheidet über die Krümmung und Öffnung, $b$ und $c$ verschieben die Parabel.

Die drei Parameter

Parameter	Wirkung
a	Krümmung & Öffnung. $a > 0$: nach oben offen. $a < 0$: nach unten. Je größer $
b	Verschiebt die Parabel schräg (kombiniert mit a). Allein schwer zu interpretieren.
c	y-Achsenabschnitt: $f(0) = c$. Verschiebt die Parabel vertikal.

Drei wichtige Punkte

Bei einer Parabel willst du oft drei Dinge wissen:

1. y-Achsenabschnitt: $f(0) = c$
2. Scheitelpunkt (höchster oder tiefster Punkt der Parabel)
3. Nullstellen (wo die Parabel die x-Achse schneidet)

Scheitelpunkt finden

Der Scheitelpunkt ist der Extremwert der Parabel: bei $a > 0$ das Minimum, bei $a < 0$ das Maximum.

Formel:

$x_S = -\frac{b}{2a}, \qquad y_S = f(x_S) = c - \frac{b^2}{4a}$

Beispiel: $f(x) = x^2 - 4x + 1$ hat $a = 1$, $b = -4$, $c = 1$.

$x_S = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad y_S = 1 - \frac{16}{4} = -3$

Scheitelpunkt: $S(2 | -3)$.

Nullstellen finden mit der pq-Formel

Falls $a = 1$, kannst du die Funktion in Normalform bringen: $x^2 + px + q = 0$. Dann:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Für $a \neq 1$ teilst du erst durch $a$ oder nutzt direkt die abc-Formel (Mitternachtsformel):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ und entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:

Diskriminante	Anzahl Nullstellen	Geometrische Bedeutung
$D > 0$	2	Parabel schneidet x-Achse an zwei Stellen
$D = 0$	1	Parabel berührt x-Achse genau im Scheitelpunkt
$D < 0$	0	Parabel verläuft komplett über/unter der x-Achse

Drei Darstellungsformen

Jede Parabel kann auf drei äquivalente Weisen geschrieben werden:

1. Normalform / Allgemeine Form

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Die "Standardform" für Berechnungen mit der pq- oder abc-Formel.

2. Scheitelpunktform

$f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S$

Liest direkt den Scheitelpunkt $S(x_S | y_S)$ ab. Ideal wenn der Scheitelpunkt gegeben oder gesucht ist.

Beispiel: $f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$ hat Scheitelpunkt $S(3|1)$ und ist nach oben geöffnet.

3. Faktorisierte Form / Linearfaktorzerlegung

$f(x) = a \cdot (x - x_1)(x - x_2)$

Wenn du die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ kennst, hast du die Funktion direkt. Funktioniert nur bei $D \geq 0$.

Beispiel: Nullstellen bei 1 und 5, Streckung 2 → $f(x) = 2(x - 1)(x - 5) = 2x^2 - 12x + 10$.

Umrechnung zwischen den Formen

• Allgemein → Scheitelpunkt: quadratische Ergänzung oder direkt $x_S = -b/(2a)$ einsetzen
• Scheitelpunkt → Allgemein: ausmultiplizieren
• Allgemein → Faktorisiert: Nullstellen mit pq/abc-Formel berechnen, dann Linearfaktoren bilden

In der Klausur wirst du oft zwischen diesen Formen wechseln müssen, je nachdem was gefragt ist.