Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist. Im einfachsten Fall hat sie die Form:

$f(x) = mx + b$

Zwei Parameter, mehr nicht. Sobald du diese beiden verstanden hast, kannst du jede Gerade auf einem Koordinatensystem ablesen, zeichnen und vorhersagen.

Die zwei Parameter

Steigung m verstehen

Die Steigung sagt: pro 1 Schritt nach rechts auf der x-Achse, geht die Linie m Schritte nach oben (oder unten, wenn m negativ ist).

• $m = 2$: Die Linie geht steil nach oben (jeden Schritt rechts → 2 hoch)
• $m = 0{,}5$: Die Linie geht flach nach oben
• $m = 0$: Waagerechte Linie (kein Anstieg)
• $m = -1$: Die Linie fällt (jeden Schritt rechts → 1 runter)

y-Achsenabschnitt b verstehen

Wenn du x = 0 in die Funktion einsetzt, fallen alle x-Anteile weg:

$f(0) = m \cdot 0 + b = b$

Das heißt: die Linie schneidet die y-Achse genau auf der Höhe b. Wenn $b = 3$, geht die Linie durch den Punkt $(0\,|\,3)$.

Beispiele zum Mitdenken

Beispiel 1: $f(x) = 2x + 1$

Bei $x = 0$ ist $y = 1$. Bei $x = 1$ ist $y = 3$. Bei $x = 2$ ist $y = 5$. Pro Schritt rechts gehts immer 2 nach oben — das ist die Steigung 2. Die Linie startet (auf der y-Achse) bei 1.

Beispiel 2: $f(x) = -0{,}5 x + 4$

Pro Schritt rechts gehts 0,5 nach UNTEN. Bei $x = 0$ ist $y = 4$. Die Linie fällt sanft.

Warum ist das wichtig?

Lineare Funktionen sind die Grundlage für:

• Informatik: Algorithmus-Laufzeit beschreiben (lineare Komplexität, $O(n)$)
• BWL: Kostenmodelle (Fixkosten + variable Kosten pro Stück)
• Statistik: einfache Regression
• Physik: gleichförmige Bewegung

Sobald du die zwei Parameter beherrschst, hast du das Werkzeug für all diese Anwendungen.